Arvutusmeetod

Osatuletistega diferentsiaalvõrrandite süsteemi lahendamine ei ole üldjuhul matemaatiliselt lihtne ülesanne. Seetõttu tuleb paljude ülesannete teoreetilised seaded lihtsustada tasemele, mis võimaldavad integreerida harilikke diferentsiaalvõrrandeid ja kasutada saadud tulemusi vajalike valemite tuletamiseks. Näiteks võib hüperboolset tüüpi diferentsiaalvõrrandite süsteemi numbrilise lahenduse määrata alg- ja piiritingimustel, mis vastavad vaba- ja survevoolu süsteemides liikuvatele lainetele. Osatuletistega diferentsiaalvõrrandite süsteemi võib teisendada harilikuks diferentsiaalvõrrandiks, kasutades karakteristikute meetodit, mida selgitatakse õpikus muutuva vabapinnaga lainete ning muutuva tihedusega lainete abil. Oluline on teada, et voolamise tehnosüsteemi mõnede elementide nagu reservuaarid ja klapid lisamiseks numbrilisesse arvutusskeemi võib kasutada vastavaid piiritingimusi.

Numbriliste arvutusskeemide ülesannete neljandas osas on kasutatud karakteristikute meetodit osatuletistega diferentsiaalvõrrandite integreerimisel kokkusurumatu, st muutumatu tihedusega ja kokkusurutava, st muutuva tihedusega vedeliku mittestatsionaarsetele vooluprotsessidele vastavates tehnosüsteemides, nagu seda on vabavoolu lained avasängis ja survevoolu lained täieliku täitumusega torus. Numbrilises analüüsis on karakteristikute meetod tuntud kui osatuletistega diferentsiaal-võrrandite lahendamise meetod, milles võetakse kasutusele harilik diferentsiaalvõrrand laineparameetritega määratud karakteristlikele joontele. Numbriliste arvutusskeemidega on esitatud lahendused vabapinna laine liikumise arvutamiseks avasängi lüüsi avamisele ja hüdraulilise lööklaine liikumise arvutamiseks survetorus väljavooluava klapi avamisele.

Hüdrolöök torustikus

SISSEJUHATUS TEEMASSE

Voolukiirust survetorus on võimalik reguleerida pumba, sulge- või muu tehnilise seadmega. Siibri ja automaatklapi äkilisel sulgemisel või avamisel muutub voolukiirus sulgeseadme asukohas praktiliselt hetkeliselt. Kui survesüsteemis puudub vedelikule sisepind, kaasneb voolukiiruse äkilise muutumisega veerõhu äkiline muutumine. Sellist äkilist rõhu suurenemist või vähenemist torustikus nimetatakse hüdrolöögiks (Maastik, A., Haldre, H., Koppel, T. & Paal, L. (1995). Hüdraulika ja pumbad. OÜ Greif).

Klapi äkilisel sulgemisel täieliku veetäitumusega torustikus muutub voolamise kineetiline energia praktiliselt hetkeliselt potentsiaalseks energiaks, millega kaasneb vedeliku tiheduse järsk suurenemine ja torumaterjali deformatsioon. Kuna vedelikuga täidetud torustik ei ole jäik, siis seiskub klapi sulgemisel voolamine esmalt klapilähedases vooluristlõikes (elavlõikes), kuid ülejäänud vedelik torustikus jätkab voolamist. Kuna klapilähedases osas muutub vedeliku tihedus, siis muutub selles torustikuosas ka rõhk ning veetiheduse muutusega tekkiv rõhulaine ehk hüdrauliline lööklaine liigub veetorustikus edasi ning seiskab järk-järgult vedeliku voolamise ka seal. Torustikus toimuva voolumise kiirusprofiili tõttu toimub sisevoolamine ka seiskunud vedelikus, mille "keskmine" voolukiirus ehk hüdrauliline voolukiirus on kontrollmahu ulatuses nullväärtusega.

Hüdrolöök võib esineda rõhulise voolamise puhul nii joogivee kui ka reovee torustikes – nagu survekanalisatsioon. Sademeveekanalisatsioonis võib rõhk ootamatult suureneda ekstreemsetes oludes, kui näiteks valingvihmaga toimub torustiku hoogne veega täitumine. Sademeveesüsteemis on rõhu ebaloomulikult kiire muutumise põhjuseks tavaliselt õhk, mis ei saa torustiku veega täitumisel sellest väljuda või vabalt ümber paikneda. Torustikku lukustunud õhuosa ruumala muutusega kaasnev tiheduse muutus tekib lihtsamalt kui veeosa tiheduse muutus. Seetõttu võib rõhukõrgus vee ja õhuga täidetud kanalisatsioonis muutuda oluliselt suuremal määral kui veerõhuga määratud veesamba kõrgus.

SISSEJUHATUS ÜLESANDESSE

Hüdraulilise lööklaine liikumisel muutuvad voolamise potentsiaalse ja kineetilise energia väärtused torustikus. Hüdrolöök võib tekkida nii survetorustiku klapi sulgemisel kui ka avamisel. Voolava vedeliku tööolukorras muutub kineetiline energia klapi sulgemise hetkel potentsiaalseks energiaks. Põhi- ja lisaülesannetes on survetoru klapi avamisega tekitatud hüdrauliline lööklaine, kus rõhukõrgusega määratud potentsiaalne energia muutub voolukiirusega määratud kineetiliseks energiaks. Ideaalvedeliku voolamise matemaatilisel lihtsustamisel ei muutu mehaaniline energia siseenergiaks. Reaalvoolu juhul on kasutatud Rayleigh’ hõõrdetakistustegurit hüdraulilise lööklaine viskoossel dissipatisioonil. Hüdrolöögi viskoossele dissipatisiooni lihtsustatud mudelite puhul võib kasutada ka Fanningi või Darcy hõõrdetegurit (Wiley, B., Streeter, V. L. & Suo, L. (1993). Fluid Transients in Systems. Prentice Hall, Inc.).

PÕHIÜLESANNE

(TTÜ digikogu õpiku osa 22). Määrata valemitega ja numbrilise arvutusskeemiga maksimaalne ja minimaalne rõhukõrgus hüdraulilises voolusüsteemis, torustikus kontrollklapi praktiliselt hetkelisel avamisel. Selgitada mehaanilise energia muutumist hüdraulilise lööklaine liikumisele torustikus. Arvutada ideaal- ja reaalvedeliku voolukiiruse, ning rõhukõrguse diagrammid veetorni I poolses torustiku osas, torustiku keskel ja veetorni II poolses torustiku osas.

EELDUSED

Veetorne ühendab pikk muutumatu ristlõikega plastmaterjalist ümartoru. Avatud klapiga olukorras on vee voolamine hüdraulilises voolusüsteemis ühtlane. Vee sisse- ja väljavoolu ning kontrollklapi kohttakistused on oluliselt väiksemad hõõrdetakistusest torus. Ideaalvedeliku matemaatiliselt lihtsustatud juhu puhul rõhulise voolamise hõõrdetakistust mitte arvestada. Numbrilises arvutusskeemis kasutada hüdrolöögi võrrandite karakteristliku kuju, mis võimaldab lõplike vahede meetodiga ilmutatud kujul määrata voolukiiruse ja rõhukõrguse muutused vedeliku ja toru koostoimele elastsel deformatsioonil.

PÕHIVALEMID

Reaalvoolu Bernoulli võrrand, Darcy survekao valem, Fanningi hõõrdetakistustegur, Žukovski rõhu valem, 1D hüdrolöögi võrrandid.

Madalveeline süsteem

Madalveelise voolamise kirjeldamiseks kasutatakse kokkusurumatu vedeliku mudelit, milles eeldatakse, et vabapinna kõrgus üle veekogu sisepõhja on tunduvalt väiksem voolamise horisontaalsest mastaabist (pikkusmõõtmest), näiteks madalveelise vabapinnalaine pikkusest. Kui homogeense veekihi vertikaalne iseloomulik mõõde (keskmine kõrgus) on H ja voolamise horisontaalne iseloomulik mõõde (näiteks vabapinnalaine lainepikkus) on L , siis madalveelisele voolusüsteemile on täidetud tingimus: δ=H/L«1.

 

Paisulaine tehiskanalis

SISSEJUHATUS TEEMASSE

Ehitatud tammid võivad olla nii tehislikud (nt betoon- või pinnastamm) kui ka looduslikud moodustised (nt mägijärve pinnasnõlv). Ehitatud tamm on hüdrotehniline kaitserajatis, millega takistatakse pinnavee voolamist. Ehitatud tammi kasutatakse paisjärvedes äravoolu piiramiseks, et vähenda madalamate maa-alade üleujutusi, aga ka veehoidlates, et kasutada vett niisutamiseks, joogiks, tööstuses, vesiviljeluses vms ning samuti põua mõjude (ka kuivusriskide) leevendamiseks. Ehitatud tammiga on võimalik reguleerida vee voolamist, aga ka kaitsta maa-alasid üleujutuste eest.

Ehitatud tammi rike on kontrollimatu veehulga väljumine reservuaarist hüdrotehnilise rajatise ehitusvigade, pinnase struktuuri muutuste või muu ettenägematu puuduse tagajärjel. See võib olla katastroofiliste tagajärgedega.

Ehitatud tammi purunemisega (ingl. dam break) kaasneva paisulaine – nagu vooluhüppelaine - tekkimisel eeldatakse, et algtingimusel erineb veepinna kõrgus eraldusseina erinevatel pooltel oluliselt. Veepindade eraldusseina eemaldamisel tekkiv vooluhüppelaine vastab ebaühtlase voolamise tingimustele, mille puhul vabapinna kõrgus ja voolukiirus voolusängis katkevad, näiteks veevaltsi moodustumisel. Vooluprotsessi keerukuse tõttu on paisulainet hüdraulikavalemite lahendustega keeruline selgitada. Ideaalvedeliku matemaatiliselt lihtsustatud juhul on võimalik voolukiiruse ja veepinna muutustel tekkiva paisulaine lahendusi esitada analüütiliste funktsioonidena. Vooluhüppelaine lahenduste esitamisel on üldjuhul lihtsam rakendada numbrilisi arvutusskeeme, mis kasutavad karakteristikute meetodit (Pratt, L. J. & Whitehead, J. A. (2007). Rotating Hydraulics. Nonlinear Topographic Effects in the Ocean and Atmosphere. Springer).

SISSEJUHATUS ÜLESANDESSE

Paisulaine liikumisel muutuvad potentsiaalse ja kineetilise energia väärtused voolusängis. Paisulaine võib tekkida nii lüüsi sulgemisel kui ka avamisel. Voolava vedeliku tööolukorras muutub kineetiline energia lüüsi sulgemisel võrdlemiselt lühikese ajavahemiku jooksul potentsiaalseks energiaks. Põhi- ja lisaülesannetes tekitatakse voolusängi lüüsi avamisega paisulaine, mille puhul muutub veepinna kõrgus voolukiiruseks. Ideaalvedeliku voolamise matemaatilisel lihtsustamisel ei muutu mehaaniline energia siseenergiaks. Reaalvoolu puhul on kasutatud Rayleigh’ hõõrdetakistustegurit paisulaine viskoossel dissipatisioonil. Paisulaine liikumise viskoosse dissipatisiooni lihtsamatel juhtudel võib kasutada ka Fanningi või Darcy hõõrdetegurit.

PÕHIÜLESANNE

(TTÜ digikogu õpiku osa 24). Määrata valemiga ja numbrilise arvutusskeemiga maksimaalne ja minimaalne veepinna kõrgus madalveelises voolusüsteemis, tehissängi lüüsi praktiliselt hetkelisele avamisele. Selgitada mehaanilise energia muutumist madalveelise vabapinna laine liikumisel. Arvutada ideaal- ja reaalvedeliku voolukiirused, ning vabapinna kõrguse diagrammid veebasseini I poolses tehissängi osas, tehisängi keskel ja veebasseini II poolses tehissängi osas.

EELDUSED

Veebasseine I ja II ühendab pikk muutumatu ristlõikega, st prismaatiline tehissäng. Avatud lüüsiga olukorras on vee voolamine tehissängis statsionaarne, mõõdukalt ebaühtlane. Hüdraulilise voolusüsteemi kohttakistused tehissängi sisse- ja väljavoolus, ning lüüsil on olulised, ning need arvestada kui tehissängi piirdega määratud hõõrdetakistusese suurenemine, st valida vastav Manningi karedustegur. Ideaalvedeliku voolamise matemaatiliselt lihtsustatud juhul, hüdraulilise voolusüsteemi takistust mitte arvestada, ning reaalvoolu pinnalainetele kasutada Reyleigh’ takistustegurit r = konstant. Numbrilises arvutusskeemis kasutada madalvee võrrandite karakteristliku kuju, mis võimaldab lõplike vahede meetodiga ilmutatud kujul määrata voolukiiruse ja veepinna kõrguse muutused kokkusurumatu (konstantse tihedusega vedeliku) voolamise puhul. Madalveelises voolusüsteemis H/l << 1, milles tehissängi pikkus on l(=100m) ja veepinna keskmine kõrgus tehissängis on H = ((h_I - z_tasp)+(h_II - z_tasp))/2 = (h_I+h_II)/2 - z_tasp(=2,55m). Madalveelise voolusüsteemi paisulaine liikumiskiirus c_pl = √(gH) = kostant.

PÕHIVALEMID

Chézy valem, Manningi valem, voolusängi Reynoldsi arv, Bernoulli kolmikliige, Froude’i arv, mõõdukalt ebaühtlase vabavoolu diferentsiaalvõrrand, 1D paisulaine võrrandite süsteem.